عدد پی

مقدمه:

ریاضی دانان با کشف روابط ریاضی به هیجان می آیند. آنها جهان اطراف خود را به صورت عدد، فرمول و معادله می بینند. ریاضیات می تواند سرگرم کننده و عملی نیز باشد. می توانید با استفاده از ریاضی محاسبه کنید که برای خرید یک اسباب بازی جدید چه مدت باید پول جمع کنید. همچنین می توانید از ریاضی برای دو یا سه برابر کردن دستور غذا یا برای محاسبه ی زمان رسیدن به مدرسه یا خانه بهره ببرید.

 همچنین می توانید با ریاضی ابعاد و اندازه ی اجسام را محاسبه کنید. در این فعالیت علمی شما اشیای دایره ای را بررسی خواهید کرد تا بتوانید روابطی در مورد ابعاد آنها پیدا کنید. در این آزمایش بررسی می کنید که آیا محیط دایره رابطه ای خاص با قطر آن دارد یا خیر. با انجام این بررسی ها احتمالاً از نتایجی که به دست می آورید شگفت زده خواهید شد!

پیش زمینه:

آیا می دانید هزاران سال است که مردم مشغول مطالعه ی علم ریاضی هستند؟ بسیاری از اصطلاحات ریاضی که امروزه استفاده می کنیم ریشه در زبان یونانی یا لاتین دارند که نشان می دهد دانشمندان باستانی روی مسائل ریاضی کار می کرده اند. به عنوان مثال کلمه ی محیط (Circumference) متشکل از دو کلمه ی لاتین Circum به معنای اطراف و ferre به معنای حمل است که هم می تواند خط مرز دایره تعبیر شود و هم طول این خط.
 
کلمه ی قطر (diameter) مشتقی از کلمات یونانی dia به معنای عرض و metron به معنای اندازه است. منظور از این کلمه خطی مستقیم است که از نقطه ای روی محیط دایره شروع می شود، از مرکز دایره می گذرد و در نقطه ای مقابل روی محیط دایره به پایان می رسد. همچنین این کلمه می تواند به طول این خط نیز اشاره داشته باشد. ریاضی دانان اثبات کرده اند که قطر طولانی ترین فاصله در یک دایره است. اکنون با مفاهیم پایه ای در مورد دایره آشنا شدیم و زمان انجام آزمایش فرا رسیده است.

مواد و وسایل مورد نیاز:

حداقل چهار جسم دایره ای در اندازه های مختلف (مثلاً می توانید از یک سکه ی بزرگ، در گرد ظرف، چرخ دوچرخه و ... استفاده کنید.)
نخ یا روبان طولانی که بتوانید آن را به تکه های کوچک ببرید.
قیچی (در هنگام استفاده از آن باید از یک بزرگتر کمک بگیرید.)
نوار چسب (اختیاری)

آماده سازی:

تمام اشیای مورد نظر خود را در یک منطقه جمع کنید تا در دسترس باشند.
کار خود را با دایره ای در اندازه ی متوسط مانند در ظرف ماست شروع کنید. در چند مرحله ی بعد شما تکه هایی از نخ یا روبان با طولی برابر با محیط و قطر این دایره خواهید برید. پس از آماده کردن این تکه ها می توانید بررسی کنید که آیا ارتباطی خاص میان این اندازه ها وجود دارد یا نه. شما این مراحل را برای دایره هایی با اندازه های مختلف انجام خواهید داد و سعی خواهید کرد رابطه ای میان قطر و محیط در تمام آنها کشف کنید.

روش کار:

برای تهیه ی یک نخ به طول محیط (خط مرز دایره) اولین جسم دایره ای خود، انتهای نخ را با انگشت شست در نقطه ای روی محیط دایره نگه دارید.
نخ را یک مرتبه دور جسم بپیچید و انتهای آن را دقیقاً در محل تماس با ابتدای نخ ببرید. برای آسان تر شدن کار می توانید ابتدای نخ را با چسب به طور موقت به جسم دایره ای بچسبانید و نخ را دور جسم بچرخانید و انتهای آن را ببرید. آیا متوجه می شوید که طول این نخ دقیقاً برابر با محیط جسم دایره ای است؟

برای اندازه گیری قطر، شما نیاز به طول خط مستقیمی دارید که از نقطه ای روی محیط دایره شروع می شود، از مرکز دایره می گذرد و در نقطه ای در طرف دیگر روی محیط دایره به اتمام می رسد. از آنجا که پیدا کردن مرکز یک جسم دایره ای دشوار است، شما از این نکته ی ریاضی در مورد دایره استفاده خواهید کرد: قطر دایره طولانی ترین فاصله ی موجود در یک دایره است. برای ایجاد یک تکه نخ با طولانی ترین طول در دایره، با انگشت شست خود سر یک نخ جدید را در نقطه ای روی محیط دایره ی متوسط نگه دارید. ادامه ی نخ را به صورت خطی مستقیم روی دایره درآورید که تا نقطه ای دیگر روی محیط ادامه داشته باشد. حال انتهای نخ که آزاد است را روی محیط دایره به چپ یا راست حرکت دهید. این کار را آنقدر ادامه دهید تا بلندترین خط مستقیم توسط نخ بین دو نقطه از محیط دایره ایجاد شود. اگر نخ را از این موقعیت به چپ یا راست تکان دهید طول خط مستقیم کوتاه تر می شود. نخ را در حالتی که تشکیل بلندترین خط مستقیم را داده است ببرید. این نخ طول قطر دایره را نشان می دهد. آیا مشاهده می کنید که این نخ از مرکز دایره می گذرد؟
 
حال همه چیز برای انجام بررسی آماده است. کدام فاصله طولانی تر است، قطر یا محیط؟ تفاوت طول این دو چقدر است؟
 
اگر تکه نخ بلندتر را از وسط تا کنید، آیا طول آن با طول نخ کوتاه تر برابر می شود؟ اگر اینطور باشد پس نخ بلندتر دو برابر نخ کوتاه تر طول دارد. اگر با یک بار تا کردن نخ بلندتر از وسط، طول آن با طول نخ کوتاه تر برابر نمی شود، تا کردن نخ برای بار دوم، سوم و بیشتر را امتحان کنید. آیا حالتی وجود دارد که دو نخ به طور تقریبی یا دقیق بر هم منطبق شوند؟ رابطه ی میان این دو نخ را چگونه با کلماتی از جمله دو برابر یا سه برابر بلندتر توصیف می کنید؟
 
همین مراحل را از ابتدا در مورد یک جسم دایره ای با اندازه ی متفاوت انجام دهید. فکر می کنید رابطه ای که در مورد جسم اول بین محیط و قطر به دست آورده اید برای دایره های دیگر در اندازه های متفاوت نیز صدق می کند؟
 
باید رابطه ی میان محیط و قطر را در دایره هایی با اندازه های کوچک، متوسط، بزرگ و بسیار بزرگ بررسی کنید. آیا می توانید رابطه ای یکسان بین محیط و قطر در تمام دایره ها بیابید؟ این رابطه دقیق است یا تقریبی؟ اگر به رابطه ای خاص دست یافته اید، فکر می کنید برای تمام دایره ها صدق می کند؟

آزمایش های تکمیلی:

در خانه اجسام دایره ای دیگری پیدا کنید و تخمینی از محیط و قطر آنها بزنید. تخمین محیط این دایره ها آسان تر است یا تخمین قطرشان؟ اندازه گیری کدام با خط کش آسان تر است، قطر یا محیط؟
 
اگر به رابطه ای تقریبی میان قطر و محیط دایره رسیده اید، فکر می کنید چگونه می توان آن را دقیق تر کرد؟ راهنمایی: می توانید طول تکه های نخ را با خط کش به طور دقیق اندازه بگیرید و سپس روی این اعداد بررسی را انجام دهید. (برای مثال محیط هر دایره را بر قطر آن تقسیم کنید.
آیا در مورد تمام دایره ها با هر اندازه ای به عددی خاص می رسید؟)

یک کاربرد این اصل در دنیای واقعی محاسبه ی مسافت طی شده توسط چرخ هایی با ابعاد مختلف است. به منظور بررسی رابطه ی میان مسافت طی شده روی زمین و اندازه ی چرخ، نقطه ای را روی محیط چرخ (مثلاً چرخ دوچرخه) با چسب علامت بزنید. این نقطه از چرخ را روی زمینقرار دهید و محل تماس آن با زمین را با گچ مشخص کنید. حال چرخ را در خطی مستقیم به سمت جلو بچرخانید تا مجدداً نقطه ای که روی چرخ علامت زده اید به زمین برسد. این نقطه را روی زمین با گچ مشخص کنید. اکنون فاصله ی میان این دو نقطه روی زمین را با قطر و محیط چرخ مقایسه کنید. آیا رابطه ای میان این اعداد مشاهده می کنید؟
 
اکنون که رابطه ی میان قطر و محیط را می دانید، آیا می توانید مثال هایی از کاربرد این رابطه بزنید؟

مشاهده و نتیجه گیری:

اگر این فعالیت را با دقت انجام داده باشید، احتمالاً به این نتیجه رسیده اید که محیط کمی بیشتر از سه برابر قطر دایره است و این رابطه وابسته به ابعاد دایره نیست. اگر دقت کارتان بالا باشد به این نتیجه می رسید که محیط دقیقاً سه برابر قطر دایره نیست. بلکه این عدد چیزی در حدود سه و یک هفتم برابر است. جالب اینکه این عدد نیز کاملاً دقیق نیست. ریاضی دانان کشف کرده اند که نسبت محیط به قطر دایره مقداری ثابت است که در تمام دایره ها صرف نظر از اندازه شان یکسان است. با این وجود آنها همچنین کشف کردند که این عدد هیچ گاه به طور دقیق قابل تعیین نیست. از اواسط قرن نوزده میلادی به این نسبت عدد پی گفته می شود که عددی بسیار جالب توجه است. این عدد نه تنها در هندسه، بلکه در سایر حوزه های ریاضی مانند نظریه ی احتمال دیده می شود. عدد پی در جهان طبیعی نیز کاربرد دارد، برای مثال به منظور توصیف موج هایی مانند موج دریا و امواج نامرئی نور و صدا.

منبع:   Finding Pi

بخش پژوهش های دانش آموزی سایت تبیان، تنظیم: نیلوفر یاقوتی